Pierre de Fermat
BIOGRAFIA
El padre de Pierre
Fermat era un rico comerciante y cónsul segundo de Beaumont - de - Lomagne.
Pierre tuvo un hermano y dos hermanas y casi de seguro creció en el lugar dónde
nació.
Nació: 17 de
agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia
Murió: 12 de
enero de 1665 en Castres, Francia
Aunque hay
poca evidencia respecto a su educación escolar, debe haber sido educado en el
monasterio franciscano del lugar.
Asistió a la
Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos durante la segunda mitad de
la década de 1620. En Burdeos comenzó sus primeras investigaciones científicas
serias y en 1629 le dio a uno de los matemáticos de allí su restauración del Plane
loci de Apolonio. Sin duda estuvo en contacto con Beaugrand en Burdeos y
durante esa época produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que le
entregó a Étienne d'Espagnet quien compartía con Fermat sus intereses
matemáticos.
Desde
Burdeos, Fermat fue a Orleáns donde estudió leyes en la Universidad. Obtuvo el
grado en ley civil y compró las oficinas de consejero en el parlamento de
Toulouse. Así que para 1631, Fermat era abogado y oficial gubernamental en
Toulouse y gracias al puesto que ocupaba tuvo el derecho de cambiar su nombre
de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.
El resto de
su vida la pasó en Toulouse pero además de trabajar allí también lo hizo en su
pueblo natal, Beaumont-de-Lomagne, y en la cercana ciudad de Castres. Desde su
nombramiento el 14 de mayo de 1631, Fermat trabajó en la cámara baja del
parlamento pero el 16 de enero de 1638 fue nombrado a la cámara alta; en 1652
fue promovido ala nivel más alto de la corte criminal. Más promociones parecen
indicar una subida casi meteórica en su profesión pero estas se daban
mayormente por antigüedad y como la peste azotó la región a principios de la
década de 1650, muchos hombres mayores murieron. Fermat mismo sufrió la peste y
en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada y después corregida:
Le informé
antes de la muerte de Fermat. Él está vivo y ya no tememos por su salud, aunque
lo habíamos contado entre los muertos no hace mucho.
El siguiente
reporte, hecho a Colbert, la figura principal en Francia en ese entonces, tiene
un dejo de verdad:
Fermat, un
hombre de gran erudición, tiene contacto con hombres de conocimiento por todos
lados. Pero él está más bien preocupado, no reporta bien sus casos y está
confundido.
Por supuesto
que Fermat se preocupaba por las matemáticas. Mantuvo su amistad matemática con
Beaugrand después de mudarse a Toulouse pero allí encontró un nuevo amigo
matemático, Carcavi. Fermat lo conoció profesionalmente ya que ambos eran
consejeros en Toulouse pero como compartían el amor por las matemáticas, Fermat
le contó a Carcavi sobre sus descubrimientos.
En 1636
Carcavi fue a Paris como bibliotecario real e hizo contacto con Mersenne y su
grupo. Las descripciones que Carcavi hizo de los descubrimientos de Fermat
sobre cuerpos que caen, despertaron el interés de Mersenne, quien le escribió a
Fermat. Fermat contestó el 26 de abril de 1636 y, además de decirle a Mersenne
sobre errores que él creía que había hecho Galileo en su descripción de la
caída libre, también se refirió a su trabajo sobre espirales y su restauración
del Plane loci de Apolonio. Su trabajo sobre espirales había sido
motivado al considerar la trayectoria de los cuerpos que caen libremente y
había usado métodos generalizados a partir de la obra sobre espirales de
Arquímedes para calcular áreas bajo las espirales. Además Fermat escribió:
También he
encontrado muchos tipos de análisis para diversos problemas, tanto numéricos
como geométricos, para los que el análisis de Viète no hubiera bastado. Voy a
compartir todo esto con usted cuando guste y lo haré sin ambición alguna, ya
que estoy más exento y distante de ella que ningún hombre en el mundo.
Resulta un
tanto irónico que este contacto inicial entre Fermat y la comunidad científica
se haya dado a través de su estudio de la caída libre ya que Fermat tenía poco
interés en las aplicaciones de las matemáticas a la física. Aun con sus
resultados sobre la caída libre, estaba mucho más interesado en probar teoremas
geométricos que en la relación entre éstos y el mundo real. No obstante, esta
primera carta sí contenía dos problemas sobre máximos que Fermat pidió a
Mersenne que pasara a los matemáticos de Paris y esto se convertiría en es
estilo típico de las cartas de Fermat: retar a otros a encontrar resultados que
él mismo ya había conseguido.
Roberval y
Mersenne se dieron cuenta de que los problemas en esta carta de Fermat, y en
las subsecuentes, eran extremadamente difíciles y por lo general no podían
resolverse usando las técnicas de la época. Le pidieron divulgar sus métodos y
Fermat envió a los matemáticos de Paris sus Métodos para encontrar máximos y
mínimos y tangentes1 de líneas curvas, su texto restaurado del Plane
loci de Apolonio y su acercamiento algebraico a la geometría, Introducción
a los lugares geométricos2 planos y sólidos.
Su
reputación como uno de los principales matemáticos del mundo creció rápidamente
pero los intentos de publicar su obra fracasaron, sobre todo porque Fermat
nunca quiso realmente pulir sus trabajos. Sin embargo, algunos de sus métodos
sí fueron publicados; por ejemplo, Hérigone añadió un suplemento con los
métodos de Fermat para máximos y mínimos a su obra más importante, Cursus
mathematicus. La amplísima correspondencia entre Fermat y otros matemáticos
no encontró elogios generalizados. Frenicle de Bessy se molestó con los
problemas de Fermat que él encontraba imposibles. Le escribió enojado pero,
aunque Fermat le dio más detalles en su contestación, Frenicle de Bessy creía
que Fermat se estaba casi burlando de él.
A pesar de
esto, Fermat pronto se vio involucrado en una controversia con un matemático
mucho más importante que Frenicle de Bessy. Beaugrand le había enviado una
copia de La Dioptrique de Descartes a la cual Fermat le puso poca
atención ya que estaba ocupado con su correspondencia con Roberval y Étienne
Pascal sobre los métodos de integración y usándolos para encontrar centros de
gravedad. Mersenne le pidió que le diera su opinión sobre La Dioptrique,
obra que Fermat describió diciendo que
anda a
tientas en la obscuridad.
Afirmó que
Descartes no había deducido correctamente su ley de la refracción3
ya que era inherente a sus supuestos. Decir que Descartes no quedó complacido,
sería quedarnos cortos. Descartes pronto encontró motivos para enojarse aún más
ya que consideró que la obra de Fermat sobre máximos, mínimos y tangentes
reducía la importancia de su propio trabajo La Géométrie, del cuál
Descartes estaba orgullosísimo.
Descartes
atacó el método de Fermat para máximos, mínimos y tangentes. Roberval y Étienne
Pascal se involucraron en la discusión y finalmente también lo hizo Desargues,
a quien Descartes pidió que actuara como árbitro. Se demostró que Fermat estaba
en lo correcto y al final Descartes lo admitió, escribiendo que:
al ver el
último método que usted usa para encontrar tangentes a líneas curvas, no puedo
contestar más que es muy bueno y que, si lo hubiera explicado de este modo
desde el principio, nunca lo hubiera contradicho.
¿Fue esto el
fin del asunto y aumentó la fama de Fermat? En lo absoluto ya que Descartes
trató de dañar la reputación de Fermat. Por ejemplo, aunque le escribió a
Fermat alabando su trabajo para determinar la tangente de una cicloide4
(que era correcto), Descartes se escribió a Mersenne afirmando que era erróneo
y diciendo que Fermat era pobre como matemático y pensador. Descartes era
importante y respetado y por ello logró dañar severamente la reputación de
Fermat.
Durante el
periodo de 1643 a 1654, Fermat no tuvo contacto con sus colegas científicos de
París. Hay varias razones para ello. En primer lugar, la presión del trabajo le
impidió dedicarle tanto tiempo a las matemáticas. En segundo, Francia vivió la
Fronde, una guerra civil y desde 1648 Toulouse se vio fuertemente afectada.
Finalmente, estuvo la peste de 1641 que debe haber tenido terribles
consecuencias tanto para la vida en Toulouse como sus casi fatales consecuencias
para Fermat. A pesar de ello, fue durante estos años que Fermat trabajó en la
teoría de números5.
Fermat es
más famoso por este trabajo en teoría de números, en particular por el último
teorema de Fermat6. Este teorema afirma que:
xn + yn =
zn
no tiene
soluciones enteras distintas de cero para x, y y z cuando n
> 2. Fermat escribió, en el margen de la Arithmetica de Diofanto,
traducida por Bachet, que:
He
descubierto una prueba verdaderamente maravillosa pero este margen es demasiado
pequeño para contenerla.
Estas notas
al margen solo salieron a la luz cuando Samuel, el hijo de Fermat, publicó una
edición de la Arithmetica de Diofanto, traducida por Bachet, con las
notas de su padre en 1670.
Hoy se cree
que la 'prueba' de Fermat estaba equivocada aunque es imposible estar
completamente seguros. La veracidad de la aseveración la probó el matemático
británico Andrew Wiles en junio de 1993, pero Wiles retiró su afirmación de
tener una demostración cuando surgieron problemas más adelante en ese mismo año.
En noviembre de 1994, Wiles de nuevo afirmó tener la demostración correcta, la
cual ya ha sido aceptada.
Intentos
infructuosos de demostrar el teorema durante 300 años llevaron al
descubrimiento de la teoría de anillos conmutativos y abundantes otros descubrimientos.
La
correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se reinició en 1654
cuando Blaise Pascal, hijo de Étienne Pascal, le escribió pidiéndole la
confirmación de sus ideas sobre probabilidad7. Blaise Pascal sabía
de Fermat gracias a su padre, quien había muerto tres años antes, y estaba
consciente de las sobresalientes habilidades matemáticas de Fermat. Su breve
correspondencia sentó las bases de la teoría de probabilidad y por ellos hoy se
les considera como los cofundadores de la materia. Fermat, sin embargo,
sintiendo su aislamiento y queriendo aún adoptar su antiguo estilo de retar a
los matemáticos, trató de cambiar el tema de la probabilidad a la teoría de
números. Pascal no estaba interesado pero Fermat, al no darse cuenta de ello,
le escribió a Carcavi diciendo:
Estoy
encantado de haber tenido las opiniones del Sr. Pascal, ya que tengo en gran
estima a su genio. [...] ustedes dos podrían emprender esa publicación, de la
cual consiento que ustedes son los maestros, pueden aclarar o complementar lo
que les parezca demasiado conciso y liberarme a mí de una carga que mis
obligaciones me impiden tomar.
Sin embargo,
no cabe duda de que Pascal no iba a editar el trabajo de Fermat y después de
este momentáneo deseo de publicar su obra, Fermat abandonó la idea. No
obstante, fue mucho mas lejos que nunca en sus problemas-reto:
Dos
problemas matemáticos que el Señor Fermat, consejero del Rey en el Parlamento
de Toulouse, planteo como irresolubles a matemáticos franceses, ingleses,
holandeses y de toda Europa
Sus
problemas no consiguieron despertar mucho interés ya que la mayoría de los
matemáticos parecían pensar que la teoría de números no era un tema importante.
El segundode los dos problemas, encontrar todas las soluciones de Nx2
+ 1 = y2 para N que no sea un cuadrado, fue sin
embargo resuelto por Wallis y Brouncker quienes desarrollaron fracciones
continuas8 en su solución. Brouncker produjo soluciones racionales9
las cuales provocaron discusiones. Frenicle de Bessy fue talvez el único
matemático de la época que estaba realmente interesado en la teoría de números
pero no tenía el talento matemático suficiente que le permitiera hacer una
contribución importante.
Fermat
planteó más problemas como que la suma de dos cubos no puede ser un cubo (un
caso especial del Último Teorema de Fermat, lo que puede indicar que para ese
entonces Fermat se había dado cuenta que su prueba del resultado general era
incorrecta), que hay exactamente dos soluciones enteras a x2
+ 4 = y3 y que la ecuación x2 + 2 = y3
tiene sólo una solución entera. Planteó problemas directamente a los ingleses.
Ninguno logró ver que Fermat tenía la esperanza de que sus problemas
específicos los llevaran a descubrir, como lo había hecho él, resultados
teoréticos más profundos.
Por ese
entonces, uno de los discípulos de Descartes estaba recolectando su
correspondencia para publicarla y pidió a Fermat ayuda con las cartas entre
Fermat y Descartes. Esto llevó a Fermat a revisar de nuevo los argumentos que
había usado veinte años antes y revisó también sus objeciones a la óptica de
Descartes. En particular, había estado descontento con la descripción de
Descartes de la refracción de la luz y ahora se conformó con un principio que
de hecho produjo la ley de los senos de la refracción que Snell y Descartes
habían propuesto. Sin embargo, Fermat la había ya deducido a partir de una
propiedad fundamental que el proponía, que la luz siempre sigue el camino más
corto posible. El principio de Fermat, hoy en día una de las propiedades
básicas de la óptica, no fue bien recibido por los matemáticos de la época.
En 1656,
Fermat había empezado a tener correspondencia con Huygens. Esto surgió del
interés de Huygens por la probabilidad y las cartas pronto fueron dirigidas por
Fermat hacia temas de teoría de números. Este tema no le interesaba a Huygens
pero Fermat intentó insistentemente y en Nuevo recuento sobre
descubrimientos en la ciencia de los números le envió a Huygens en 1659,
vía Carcavi, reveló más de sus métodos de lo que había hecho con otros.
Fermat
describió su método de descenso infinito y dio un ejemplo de cómo podía usarse
para demostrar que cada primo10 de la forma 4k + 1 podía
escribirse como la suma de dos cuadrados. Supongamos que algún número de la
forma 4k + 1 no pudiera escribirse como la suma de dos cuadrados.
Entonces hay un número más pequeño con la misma forma que no puede escribirse
como la suma de dos cuadrados. Continuando el argumento, se llega a una
contradicción. Lo que Fermat no consiguió explicar en esta carta es cómo se
construye el número más pequeño a partir del grande. Se supone que Fermat sabía
hacer este paso pero nuevamente su fracaso al revelar el método hizo que los
matemáticos perdieran interés. Los pasos faltantes solo fueron completados
cuando Euler retomó estos problemas.
Fermat es
descrito en [6] como:
Reservado y
taciturno, no le gustaba hablar de sí mismo y odiaba revelar mucho de su
pensamiento. ... Sus ideas, sin importar cuán originales o novedosas, operaban
dentro de un rango de posibilidades limitado por su época [1600 - 1650] y su lugar
[Francia].
Carl B
Boyer, escribiendo en [2], dice:
El
reconocimiento de la importancia del trabajo sobre análisis de Fermat fue
tardío, en parte por que se adhirió al sistema de símbolos matemáticos creado
por François Viète, notaciones que la Geometría de Descartes había vuelto
mayormente obsoletas. La desventaja impuesta por notaciones difíciles fue menos
severa en el campo de estudio favorito de Fermat, la teoría de números, pero
aquí, desafortunadamente, no encontró un corresponsal con quien compartir su
entusiasmo.
Hacia 1660,
su salud empieza a flaquear, y el 12 de enero de 1665 muere en la ciudad de
Castres donde pocos días antes ha asistido a la sesión del tribunal del Edicto.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor
History of Mathematics Archive
Glosario de términos
1. Una tangente a una curva en
el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese
punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p
a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en
el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son
tangentes.
2. Un lugar geométrico es el
conjunto de puntos que comparten una propiedad común.
Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya
distancia a un punto fijo (centro) es constante; a esa distancia se le
llama radio.
3. La refracción es el cambio de
dirección de un haz de luz cuando pasa de un medio a otro como, por ejemplo,
del aire al agua o vidrio.
4. Una cicloide es la curva que
se traza un punto fijo sobre una circunferencia cuando esta gira, sin resbalar,
sobre una recta.
5. La teoría de números es la
rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N.
Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números
primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación
diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el
último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
6. El último teorema de Fermat
(llamado así por ser el último de los resultados que Fermat se atribuía pero no
había sido demostrado) afirma que si n > 2, entonces la ecuación xn
+ yn = zn no tiene soluciones enteras
positivas.
Cuando n = 2, se tiene el teorema de Pitágoras y a los enteros que lo cumplen
se les conoce como 'ternas pitagoricas'. Por ejemplo, 32 + 42
= 52.
7. La teoría de probabilidad
estudia los posibles resultados de eventos o sucesos aleatorios junto con su
distribución. De hecho hay un debate importante sobre lo que significa probabilidad
en la práctica. Algunos matemáticos la consideran una simple componente de una
teoría abstracta mientras que otros le dan una interpretación basada en las
frecuencias de ciertos resultados.
8. La expansión en fracciones
continuas de un número x es una expresión que tiene la forma: [*] Si
x es un número racional, esta expansión termina.
9. Un número racional es un
número real que puede escribirse como el cociente (división) de dos números
enteros. Ejemplos: 2/3, 0.333333..., 2
10. Un número entero > 1 es primo
si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le
considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de
primos de manera única.
[*] expansión en fracciónes continuas
Curiosidades:
· Nunca ejerció las matemáticas de
forma profesional, dedicaba a ellas su tiempo libre
· Solía escribir en los márgenes de
los libros que leía.
· Cinco años antes de su muerte, se
anunció erróneamente su muerte por una epidemia de peste.
· Durante siglo los matemáticos más
famosos han intentado demostrar su último teorema.
· Nunca quiso realmente pulir sus
trabajos.
· Euler rompió la hipótesis sobre sus
números primos.
· Newton afirmo que se había apoyado
en los descubrimientos de Fermat sobre tangentes, máximos, mínimos y su
notación para sus trabajos.
· Dominaba la mayoría de los idiomas
de su época.
· Existe una leyenda (falsa) que dice
que murió durante una audiencia en el propio tribunal, en realidad murió poco
después de la misma.
· Usaba E para designar Dx.
· No está clara la razón de la
negativa de Fermat a publicar.
· Mersenne le preguntó si el número
100895598169 era primo o no, después de varios años, le respondió que ese
número es el producto de 112303 por 898433 y que ambos son primos. Hoy día no
se sabe todavía como lo pudo hacer.
· Tuvo una controversia matemática
(sobre cómo obtener máximos, mínimos y tangentes) con Descartes, que al final
se demostró que él tenía razón y Descartes estaba equivocado.
· La irritación que Fermat producía en
Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es
gascón. Yo no.”
· En su honor hay un cráter lunar que
lleva su nombre: Cráter Fermat.
· Hoy se cree que la 'prueba' de
Fermat (para su último teorema) estaba equivocada aunque es imposible estar
completamente seguros.
· El matemático británico Andrew Wiles
en noviembre de 1995 demostró este teorema.
Bibliogragfia:
Biografía en
Encyclopaedia Britannica.
Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York
1970-1990).
http://vimeo.com/el
ultimo teorema de fermat
http://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/biograf/Bfermat.html
http://www.astroseti.org/articulo/3550/
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